Από την ανακάλυψη του απείρου
στις αποκαλύψεις του απείρου
στις αποκαλύψεις του απείρου
Νίκος Λυγερός
«Η μεγάλη αλλαγή φάσης όσον αφορά στη μαθηματική αντίληψη του απείρου, έγινε με τη ριζοσπαστικά προσέγγιση του Cantor*. Πριν, το άπειρο ήταν ουσιαστικά ένα όριο, μια τελεολογία δίχως οντολογία. Ενώ ο Cantor του έδωσε την πραγματική του διάσταση εξηγώντας ότι το άπειρο υπάρχει αλλά και ότι υπάρχουν άπειρα άπειρα.
Με τη μέθοδο που φέρει τώρα το όνομά του, απέδειξε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι ουσιαστικά μεγαλύτερο από το σύνολο των φυσικών αριθμών και δεν είναι απαριθμήσιμο. Έτσι δημιούργησε και τη θεωρία των πληθαριθμών, η οποία επιτρέπει πλέον την προσέγγιση του Shröder – Bernstein.
Όμως η συμβολή του Cantor προέρχεται και από την εισαγωγή της ιεραρχίας μέσω των πολυωνύμων που ταξινομεί τους πληθάριθμους.
Αυτή η μεθοδολογία οδήγησε στην υπόθεση του συνεχούς και στη διαμάχη με τον Dedekind. Η σημασία της υπόθεσης του συνεχούς ξεπέρασε μάλιστα τον κόσμο των μαθηματικών για να εισχωρήσει στον κόσμο της μεταμαθηματικής.
Η υπόθεση του συνεχούς που εκφράζεται και ως εξής: ο πληθαριθμός των πραγματικών αριθμών είναι Aleph 1, δεν είναι μια κλασική ιδέα όπως το απέδειξε και το έργο του Gödel και η περίφημη απόδειξη του Cohen. Διότι η πρόσθεση της υπόθεσης του συνεχούς ή της άρνησης της στην αξιωματική θεωρία του Zermelo–Fraenkel δεν αλλάζει τίποτα.
Είναι η πρώτη φορά που στα κλασικά μαθηματικά η αυτοαναφορική προσέγγιση του Gödel έχει σοβαρές επιπτώσεις και δεν παραμένει στο χώρο της λογικής. Εκ των υστέρων έχουμε και το θεώρημα του Μatiajevic αναφορικά με την επίλυση των διοφαντικών εξισώσεων.
Ας επανέλθουμε όμως στο αποτέλεσμα της μεθόδου Forcing του Cohen. Η υπόθεση του συνεχούς ανήκει στις αναποφάσιστες προτάσεις. Εδώ και πάλι αντιλαμβανόμαστε ότι η οντότητα του απείρου είναι πολυπλοκότερη και δεν μας επιτρέπει μια απλοϊκή προσέγγιση. Παραδείγματος χάριν, η απόδειξη της υπόθεσης του συνεχούς, η οποία είναι συμβατή με τα αξιώματα Ζermelo-Fraenkel παράγει εξωτικές λύσεις.
Έτσι η πολυπλοκότητα μετατρέπεται σε πολυμορφία που επηρεάζει τη μαθηματική μας αντίληψη όχι μόνο του απείρου αλλά και των ιδεών των μαθηματικών. Το ίδιο ισχύει και με το αξίωμα της επιλογής που εξηγεί το περίφημο θεώρημα του Βanach – Τarski, το οποίο λέει ότι υπάρχει τρόπος να κόψεις μια σφαίρα γεμάτη ακτίνας ρ και μάζας μ, με τέτοιο τρόπο, έτσι ώστε η συναρμολόγηση των κομματιών να παράγει δύο σφαίρες γεμάτες με την ίδια ακτίνα και την ίδια μάζα. Αυτό ενισχύει την ιδέα του Ζήνωνα.
Ο Ευκλείδειος χώρος είναι πολυπλοκότερος σε σχέση με το φυσικό χώρο διότι επιτρέπει περισσότερες ιδιότητες διότι ενσωματώνουν το άπειρο σε όλες τις εκφράσεις του και όχι με περιορισμένο τρόπο.
Η υπόθεση του συνεχούς που εκφράζεται και ως εξής: ο πληθαριθμός των πραγματικών αριθμών είναι Aleph 1, δεν είναι μια κλασική ιδέα όπως το απέδειξε και το έργο του Gödel και η περίφημη απόδειξη του Cohen. Διότι η πρόσθεση της υπόθεσης του συνεχούς ή της άρνησης της στην αξιωματική θεωρία του Zermelo–Fraenkel δεν αλλάζει τίποτα.
Είναι η πρώτη φορά που στα κλασικά μαθηματικά η αυτοαναφορική προσέγγιση του Gödel έχει σοβαρές επιπτώσεις και δεν παραμένει στο χώρο της λογικής. Εκ των υστέρων έχουμε και το θεώρημα του Μatiajevic αναφορικά με την επίλυση των διοφαντικών εξισώσεων.
Ας επανέλθουμε όμως στο αποτέλεσμα της μεθόδου Forcing του Cohen. Η υπόθεση του συνεχούς ανήκει στις αναποφάσιστες προτάσεις. Εδώ και πάλι αντιλαμβανόμαστε ότι η οντότητα του απείρου είναι πολυπλοκότερη και δεν μας επιτρέπει μια απλοϊκή προσέγγιση. Παραδείγματος χάριν, η απόδειξη της υπόθεσης του συνεχούς, η οποία είναι συμβατή με τα αξιώματα Ζermelo-Fraenkel παράγει εξωτικές λύσεις.
Έτσι η πολυπλοκότητα μετατρέπεται σε πολυμορφία που επηρεάζει τη μαθηματική μας αντίληψη όχι μόνο του απείρου αλλά και των ιδεών των μαθηματικών. Το ίδιο ισχύει και με το αξίωμα της επιλογής που εξηγεί το περίφημο θεώρημα του Βanach – Τarski, το οποίο λέει ότι υπάρχει τρόπος να κόψεις μια σφαίρα γεμάτη ακτίνας ρ και μάζας μ, με τέτοιο τρόπο, έτσι ώστε η συναρμολόγηση των κομματιών να παράγει δύο σφαίρες γεμάτες με την ίδια ακτίνα και την ίδια μάζα. Αυτό ενισχύει την ιδέα του Ζήνωνα.
Ο Ευκλείδειος χώρος είναι πολυπλοκότερος σε σχέση με το φυσικό χώρο διότι επιτρέπει περισσότερες ιδιότητες διότι ενσωματώνουν το άπειρο σε όλες τις εκφράσεις του και όχι με περιορισμένο τρόπο.
Σε αυτή τη νέα φάση το άπειρο είναι μια δημιουργική οντότητα και όχι μόνο ένα όριο. Η ύπαρξη του επηρεάζει τη θεωρία των συνόλων, την τοπολογία αλλά ακόμα και τη θεωρία των αποδείξεων.
Έτσι το άπειρο από άτοπο και παράδοξο έγινε ουσιαστικό και δημιουργικό.»
* Ο Γκέοργκ Κάντορ (Georg Cantor) ήταν διάσημος μαθηματικός, περισσότερο γνωστός για τη Θεωρία συνόλων που ανέπτυξε και τους υπεραριθμήσιμους αριθμούς.
Ο Γκέοργκ Κάντορ γεννήθηκε στις 3 Μαρτίου 1845 στην Αγία Πετρούπολη της Ρωσίας. Ήταν ο μεγαλύτερος από έξι παιδιά. Όταν ο πατέρας του αρρώστησε το 1856, η οικογένειά του μετακόμισε στη Γερμανία, πρώτα στο Βιζμπάντεν, έπειτα στη Φρανκφούρτη.
Το 1862, ο Κάντορ αποφοίτησε από το ETH Ζυρίχης, ενώ αργότερα στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου. Ο Γκέοργκ Κάντορ έλαβε έδρα καθηγητή στο Πανεπιστήμιο του Χάλε.
Το 1874, ο Κάντορ παντρεύτηκε την Βάλλυ Γκούτμαν. Απέκτησαν μαζί 6 παιδιά. Εκείνη την εποχή, ο Κάντορ ανέπτυξε τη Θεωρία Συνόλων. Το 1884, ο Κάντορ εισήχθη σε νοσοκομείο ύστερα από μια περίοδο κατάθλιψης.
Ο Κάντορ αποσύρθηκε από την εκπαίδευση το 1913, ενώ πέθανε το 1918 ύστερα από μια περίοδο μεγάλης φτώχειας, σε ηλικία 72 ετών. Μεγάλη στιγμή της ζωής του είναι η απόδειξη πως το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι υπεραριθμήσιμο κάτι το οποίο κατάφερε με την τεχνική της Διαγωνιοποίησης.
Η ανακάλυψη του μαθηματικού φορμαλισμού από τους Αρχαίους Έλληνες τους επέτρεψε να συναντήσουν την έννοια του απείρου. Δίχως φόβους και φοβίες, οι μαθηματικοί της αρχαιότητας μελέτησαν αυτήν την οντότητα, ανέλυσαν μερικές από τις ιδιότητές της και τις εφάρμοσαν σε θεωρητικό επίπεδο, για να κατανοήσουν την πραγματικότητα μέσω της επινόησης της μοντελοποίησης.
Ένα από τα χαρακτηριστικά παραδείγματα της συμβολής του απείρου στην εξέλιξη των μαθηματικών είναι τα παράδοξα του Ζήνωνα του Ελεάτη. Η απλοϊκή τους ερμηνεία από μη μαθηματικούς επέτρεψε δυστυχώς επιστημολογικές παρερμηνείες με αποτέλεσμα να θεωρούν μερικοί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ότι οι Αρχαίοι Έλληνες δεν αντιμετωπίζουν σωστά την έννοια του απείρου λόγω άγνοιας τους στον τομέα της σύγκλισης μίας δυναμοσειράς.
Στην πραγματικότητα, τα παράδοξα του Ζήνωνα δεν μας μεταφέρθηκαν αυτούσια και άμεσα από την αρχαιότητα αλλά με την κριτική και τις παρατηρήσεις του Αριστοτέλη που είχε ελάχιστες γνώσεις στα μαθηματικά και δεν κατανόησε την ανακάλυψη του Ζήνωνα. Η συμβολή του Ζήνωνα είναι η εξής: ο χώρος της πραγματικότητας δεν μπορεί να μοντελοποιηθεί με τους πραγματικούς αριθμούς. Η χρήση αυτών των αριθμών δημιουργεί τα λεγόμενα παράδοξα.
Έτσι το άπειρο από άτοπο και παράδοξο έγινε ουσιαστικό και δημιουργικό.»
Γκέοργκ Κάντορ (Georg Cantor) 1845 - 1918
* Ο Γκέοργκ Κάντορ (Georg Cantor) ήταν διάσημος μαθηματικός, περισσότερο γνωστός για τη Θεωρία συνόλων που ανέπτυξε και τους υπεραριθμήσιμους αριθμούς.
Ο Γκέοργκ Κάντορ γεννήθηκε στις 3 Μαρτίου 1845 στην Αγία Πετρούπολη της Ρωσίας. Ήταν ο μεγαλύτερος από έξι παιδιά. Όταν ο πατέρας του αρρώστησε το 1856, η οικογένειά του μετακόμισε στη Γερμανία, πρώτα στο Βιζμπάντεν, έπειτα στη Φρανκφούρτη.
Το 1862, ο Κάντορ αποφοίτησε από το ETH Ζυρίχης, ενώ αργότερα στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου. Ο Γκέοργκ Κάντορ έλαβε έδρα καθηγητή στο Πανεπιστήμιο του Χάλε.
Το 1874, ο Κάντορ παντρεύτηκε την Βάλλυ Γκούτμαν. Απέκτησαν μαζί 6 παιδιά. Εκείνη την εποχή, ο Κάντορ ανέπτυξε τη Θεωρία Συνόλων. Το 1884, ο Κάντορ εισήχθη σε νοσοκομείο ύστερα από μια περίοδο κατάθλιψης.
Ο Κάντορ αποσύρθηκε από την εκπαίδευση το 1913, ενώ πέθανε το 1918 ύστερα από μια περίοδο μεγάλης φτώχειας, σε ηλικία 72 ετών. Μεγάλη στιγμή της ζωής του είναι η απόδειξη πως το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι υπεραριθμήσιμο κάτι το οποίο κατάφερε με την τεχνική της Διαγωνιοποίησης.
Η συμβολή του άπειρου στην εξέλιξη
των μαθηματικών (με Α. Λιπορδέζης)
Α. Λιπορδέζης, Ν. Λυγερός
Α. Λιπορδέζης, Ν. Λυγερός
Η ανακάλυψη του μαθηματικού φορμαλισμού από τους Αρχαίους Έλληνες τους επέτρεψε να συναντήσουν την έννοια του απείρου. Δίχως φόβους και φοβίες, οι μαθηματικοί της αρχαιότητας μελέτησαν αυτήν την οντότητα, ανέλυσαν μερικές από τις ιδιότητές της και τις εφάρμοσαν σε θεωρητικό επίπεδο, για να κατανοήσουν την πραγματικότητα μέσω της επινόησης της μοντελοποίησης.
Ένα από τα χαρακτηριστικά παραδείγματα της συμβολής του απείρου στην εξέλιξη των μαθηματικών είναι τα παράδοξα του Ζήνωνα του Ελεάτη. Η απλοϊκή τους ερμηνεία από μη μαθηματικούς επέτρεψε δυστυχώς επιστημολογικές παρερμηνείες με αποτέλεσμα να θεωρούν μερικοί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ότι οι Αρχαίοι Έλληνες δεν αντιμετωπίζουν σωστά την έννοια του απείρου λόγω άγνοιας τους στον τομέα της σύγκλισης μίας δυναμοσειράς.
Στην πραγματικότητα, τα παράδοξα του Ζήνωνα δεν μας μεταφέρθηκαν αυτούσια και άμεσα από την αρχαιότητα αλλά με την κριτική και τις παρατηρήσεις του Αριστοτέλη που είχε ελάχιστες γνώσεις στα μαθηματικά και δεν κατανόησε την ανακάλυψη του Ζήνωνα. Η συμβολή του Ζήνωνα είναι η εξής: ο χώρος της πραγματικότητας δεν μπορεί να μοντελοποιηθεί με τους πραγματικούς αριθμούς. Η χρήση αυτών των αριθμών δημιουργεί τα λεγόμενα παράδοξα.
- Ένα από τα πιο βασικά παράδοξα του Ζήνωνα είναι ισόμορφο στο εξής μοντέρνο ερώτημα: «ποιος είναι ο επόμενος πραγματικός αριθμός που είναι μεγαλύτερος του μηδενός;».
Δεν αποτελεί μια φοβία ή ένα φόβο του απείρου εκ μέρους των Αρχαίων Ελλήνων. Αντιθέτως, συνέλαβαν πιο αποτελεσματικά τα χαρακτηριστικά του και κατανόησαν τα όρια της μοντελοποίησης μέσω αυτού του μαθηματικού εργαλείου. Με μια πιο μοντέρνα γλώσσα θα λέγαμε ότι το άπειρο απορροφά ιδιότητες του πεπερασμένου.
Με άλλα λόγια εκφυλίζει την έννοια των ορίων. Κατά συνέπεια πρέπει να είμαστε προσεχτικοί στη χρήση του, όταν μοντελοποιούμε την πραγματικότητα Οι Αρχαίοι Έλληνες όχι μόνο επινόησαν την έννοια του απείρου και κατανόησαν μερικές από τις ισχυρές ιδιότητες του αλλά αντιλήφθηκαν επιπλέον και τα όριά του.
Αυτό καταδεικνύει και το εύρος της γνώσης τους. Διότι αν τα μαθηματικά είναι τόσο ισχυρά νοητικά σχήματα αλλά και ως γνωστικά εργαλεία, είναι επειδή γνωρίζουν τις αδυναμίες τους. Όπως και η γνώση της μη πληρότητας ενός συστήματος κατά Godel μας επιτρέπει να έχουμε βαθμούς ελευθερίας στην αξιωματική μας επιλογή. Οι Αρχαίοι Έλληνες ξεπέρασαν τις τεχνικές δυσκολίες και ανακάλυψαν την τέχνη του απείρου.
Αναζητήσεις πρώτων αριθμών - Ν. Λυγερός
Μέσω της Θεωρίας Αριθμών γρήγορα γίνεται κατανοητή η αξία των πρώτων αριθμών ακόμα και στο πιο θεμελιακό επίπεδο με την έννοια ότι η εμφάνιση τους δημιουργεί άμεσα προβλήματα πολυπλοκότητας. Σε αυτό το πλαίσιο οι προσεγγίσεις του Euler, του Jacobi, του Gauss είναι κλασικές. Ενώ η προσέγγιση του Riemann μέσω της μιγαδικής ανάλυσης και ειδικά της συνάρτησης J(s), θα αποτελέσει μια αλλαγή φάσης.
Όμως οι διακλαδώσεις των μαθηματικών θα δημιουργήσουν κι άλλες στρατηγικές που θα μελετηθούν από τους Hardy, Ramanujan και Erdős. Επίσης, η εισαγωγή της πληροφορικής στα μαθηματικά θα αναδείξει κι άλλες δυνατότητες για την έρευνα των πρώτων αριθμών. Με τους υπολογιστές, μπορούμε πια να έχουμε ακόμα και στον θεωρητικό τομέα αποτελέσματα χειροπιαστά.
Έτσι το θεώρημα του Dirichlet για το άπειρο πλήθος πρώτων αριθμών γραμμικής μορφής μπορεί να εμπλουτιστεί επί του πρακτέου με τους διαδοχικούς αριθμούς σε αριθμητική πρόοδο και είναι με τέτοια μεθοδολογία που ανακαλύψαμε τους δέκα το 1998. Όμως οι πρώτοι αριθμοί μπορούν να εμφανιστούν κι εκεί όπου σπάνιοι ήταν αυτοί που τους περίμεναν, διότι ο τομέας δεν έδινε από μόνος του έμφαση σε αυτό το στοιχείο με ξεκάθαρο τρόπο. Όμως με μια πλάγια επίθεση του προβλήματος ανακαλύψαμε το 2010 την έκτη λύση του προβλήματος του Ramanujan περί υπεριδιόμορφων πρώτων αριθμών. Η αλλαγή κύκλου που προκάλεσε αυτή η καινοτομία παρουσιάστηκε με τη δυνατότητα εύρεσης μεγάλων πρώτων αριθμών.
Γενικεύοντας ένα αποτέλεσμα του Lehmer, δημιουργήσαμε μια νέα κατηγορία πρώτων αριθμών το 2011. Οι πρώτοι αριθμοί Lehmer-Ramanujan κατασκευάζονται με δύο πρώτους αριθμούς στους οποίους εφαρμόζουμε τη συνάρτηση τ(n) του Ramanujan. Με αυτή τη νέα κατηγορία, η οποία έχει ήδη παρουσιάσει υποψήφιους πρώτους αριθμούς με περισσότερα από 600.000 ψηφία το 2016, έχουμε τη δυνατότητα να ερευνήσουμε θεωρητικά ένα πλαίσιο όπου βρίσκονται οι μεγαλύτεροι πρώτοι αριθμοί που είναι γνωστοί σε παγκόσμιο επίπεδο.
• Αθανάσιος Λιπορδέζης & Νίκος Λυγερός: "Νέες μέθοδοι αναζήτησης μεγάλων πρώτων αριθμών μέσω συνάρτησης Ramanujan". Μαθηματική εβδομάδα περίπτερο 8 της Διεθνούς Έκθεσης Θεσσαλονίκης Αίθουσα Α. 09/03/2012. - Video.
Σοφία Ντρέκου - Νίκος Λυγερός Λόγοι
Κείμενα, Βίντεο: Opus of N. Lygeros
Τελευταία ενημέρωση και έλεγχος συνδέσμων:
11 Ιουνίου στις 10:43
Σημ.: πατήστε την εικόνα ή τον σύνδεσμο για να δείτε το Video.
3006) Από την ανακάλυψη του απείρου στις αποκαλύψεις του απείρου. Perfection 8 7 7/2007. De la découverte de l'infini aux révélations de l'infini.
3005) Η συμβολή του άπειρου στην εξέλιξη των μαθηματικών (με Α. Λιπορδέζης). Perfection 8 7 7/2007. L' apport de l'infini dans l'évolution des mathématiques.
3005) Η συμβολή του άπειρου στην εξέλιξη των μαθηματικών (με Α. Λιπορδέζης). Perfection 8 7 7/2007. L' apport de l'infini dans l'évolution des mathématiques.
